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Geomería del Tiempo

In Análisis de Cuadros,Análisis geométrico,Geometrías ocultas on 21 marzo, 2011 por alvarengomez

GEOMETRÍA TRANSFORMACIONAL: UNA GEOMETRÍA DEL TIEMPO

©Álvaro Rendón Gómez, marzo 2011

El druida salió de madrugada. Aún no había amanecido cuando subió a la cima sagrada y esperó el germinar del sol. El cielo estaba despejado y las estrellas comenzaban a desvanecerse en aquel resplandor que rasgaba el horizonte. El mago apenas pudo concluir su momento de meditación, señaló con la mirada el punto de luz y alineó con él la vara de acebuche que asía. Después, grabó una línea decamanus en el suelo. Antes de extraer el cordel del bolsillo comprobó el alineamiento anterior. La cuerda de lino, trenzada con habilidad, llevaba dos nudos en sus extremos. Pasó el báculo por uno de ellos, clavándolo con fuerza en el centro de la línea primera. Fijó una piedra puntiaguda en el otro y lentamente, meditando cada movimiento del brazo, la desplazó alrededor del apoyo de madera hasta trazar un círculo de unas medidas especiales, [ilustración 1]. Absorto por la belleza y simplicidad del trazado, por la sugerencia de eternidad que aportaba, cerró los ojos y una lágrima de satisfacción brotó de sus asombrados ojos. Aquella línea sin principio ni fin, cerrada y equidistante del primer punto trazado, era la prueba irrefutable de lo inmortal, de lo permanente e inmutable.
Sin soltar el cordel del báculo y tomando como centro los puntos de corte del círculo con la primera línea orientada, trazó dos arcos idénticos para averiguar la posición en orto de una segunda línea, cardo, perpendicular a la primera por el centro del círculo, dividiéndolo en cuatro partes. Al terminar estas acciones había confeccionado un templo, un lugar habitado por Dios; había logrado templar, cortar y delimitar un espacio desde el que observar o contemplar(1) el cielo. Entró en él y cruzó las piernas en el suelo, sin dejar de escrutar las posiciones estelares. Buscaba una señal, un presagio… Unas golondrinas cruzaron el gran círculo. Sonriente, se levantó y extendió los brazos mirando de frente al sol, en la misma dirección marcada por las aves. Agradeció la ayuda para concluir la construcción. Despacio, meditando la intención de cada gesto, trazó cuatro segmentos interiores, cuatro cuerdas idénticas que unieron los vértices orientados del templo –que resultaron ser los extremos de los diámetros perpendiculares–, conformando un cuadrado cargado de significados. Símbolo de lo mortal, de lo imperfecto, medible y sensorial, el cuadrado interior se le antojó que podría tener otros significados trascendentes. Había brotado del círculo al orientarlo según las direcciones terrestres. Imaginó al ser humano con los brazos extendidos, la misma naturaleza encerrada en la divinidad, formando parte de ella, siendo ella misma, aunque concretada por cuatro rasgos de igual magnitud.

Aún permaneció un tiempo más, contemplando el resultado, imaginando ahora el cuadrado como una casa(2): El ser humano como continente de Dios, de su esencia trascendente, intermedio entre los dos reinos, el de arriba y el de abajo, la hembra-tierra y el macho-cielo, el fuego de arriba que funde el hielo de abajo. Simbolizaba el lugar de los contrarios armonizados; la conjugación armónica de cuatro segmentos o lados idénticos, dispuestos en orto o perpendiculares entre sí y delimitando en el círculo mágico un lugar para la contemplación de Dios; un lugar protegido, una casa de oración donde los fenómenos podían ser controlados por la limitada voluntad humana. El mago se sintió dichoso y disfrutó, a su manera, del momento de gozo de aquel amanecer que hinchaba sus pulmones de aire renovado y pleno. Recogió la cuerda y la sujetó alrededor de la cintura, anudándola en el costado derecho; luego, salió del templo y continuó su camino, convencido de haber obrado con sabiduría y humildad.
Así, el cielo y la tierra(3), el fuego, el agua y el aire, fueron combinados en un universo polimorfo en el que todo es posible, toda transformación realizable, y se cumplen los deseos de proteger el poder de la magia, reservándola para unos pocos elegidos. Y todo ello fue experimentado en los límites del Templo-Cuadrado. Nosotros utilizaremos el Plano Básico como probeta donde experimentar el espacio. Actuaremos como el viejo druida, recurriremos al primitivo axioma trismegístico que asegura que lo “lo de arriba es como lo de abajo”, y el macrocosmos como el microcosmos. Nuestro Plano Básico será al alambique microcósmico, cuyos resultados podrán extrapolarse a las leyes universales manifiestas en el macrocosmos. Que así sea.

  • Tras los pasos de una geometría vital.

Han pasado miles de años desde aquel encuentro solar del mago con los elementos de la naturaleza, de aquella contemplación directa; pero los misterios y los ritos continúan celebrándose bajo la bóveda celeste de los cielos patrios, se perpetúan en Escuelas y Hermandades dedicadas al estudio esotérico, empleando el número y, sobre todo, la geometría. Ahora se enseñan separadas. Como ciencias, estudian aspectos del todo. Hoy la vida se estudia como biología, los planetas como cosmología, los accidentes de la tierra como geografía, el pensamiento como filosofía y cientos de habilidades más como disciplinas que exigen planteamiento, desarrollo y conclusión cuantificable (tríada del silogismo lógico, llevado al absurdo de la demostración que puede constatarse por fenómenos sensibles). La geometría vital, movida por los misterios de todo aquello que sorprende al ser humano, ha quedado relegada a ciencia que estudia el espacio, la medida y la forma. Disfrazada de trigonometría y complicadas fórmulas analíticas, sobrevive al número como cuantificación. Atrás han quedado los signos que contenían, en su abstracta concepción, el espacio que representaban y las posibilidades perceptivas que desarrollaban. La geometría como símbolo que unía las partes del conocimiento humano, vínculo entre dos mundos (material y espiritual) encerrado en su poderosa manifestación divina, se extingue. La geometría, tratada como signo de una representación de lo evidente, se ahoga y pierde su quintaesencia. El ser humano, al percatarse que le falta esa herramienta que desarrollaría su capacidad de espacialización(4), se siente prisionero de un mundo que no comprende, impuesto como tridimensional(5), y en ocasiones, de modo independiente, como ancho, como largo o como alto.
Esta humanidad necesita volver a la geometría simbólica que permitía diferentes niveles de lectura (sensorial, intelectual, emocional y espiritual). Una geometría de la contemplación, meditación y experimentación espiritual. Que el ser humano vuelva a sorprenderse ante el rasgo intencionado, ejecutado sobre la superficie vacía del papel en blanco o la estéril pizarra. Una geometría captada desde la intuición y la analogía, que su significado último sea una revelación del misterio que encierra.
Existe una parte importante del conocimiento humano, el aprendido a través de los sentidos internos y que corresponde a un bagaje cultural que ya no es conocimiento de datos e informaciones sesgadas e interesadas, sino que es sabiduría porque nos salva y libera de nuestra condición de seres mortales. La sabiduría rodeada de misterio sostiene el interés por lo trascendente, la búsqueda de lo inmutable y duradero, y nos capacita para conectar con la verdad, simple y permanente. El misterio da alas a la imaginación, a la intuición creativa, imprescindibles para alcanzar la altura de miras suficiente para verlo todo en su dimensión justa, sin afectación. El misterio no es una vía de conocimiento pero sí lo impulsa, lo libera de la razón que nos exige la aprehensión de hechos concretos para sentirnos seguros.
El mundo, las cosas que nos rodean y las que imaginamos ver y sentir, ¿es como lo muestra la ciencia?, ¿no puede ocurrir que esta obsesión por reducirlo todo a hechos constatables esté deformando nuestra visión y nos muestre un mundo ajeno al real?, ¿cómo averiguar este extremo?… Estoy convencido en que las respuestas a algunos de estos interrogantes se hallan en la geometría mística, aquella que trata de desentrañar los misterios de la forma, y la única con capacidad para leer las insinuaciones de la posición y la orientación de líneas que al neófito se le antojan arbitrarias. La geometría, contenedora de formas que superan el intelecto humano, envuelve la vida y la infunde de sentido elevado, lo acerca a las fuerzas que hicieron posible el despertar de nuestra conciencia. Pero, ¿qué es geometría…? ¿Resolverá la Geometría los problemas de espacio-tiempo que nos preocupan? Para muchos, la geometría la constituyen extrañas figuras construidas con regla y compás, sin pararse a contemplar que todo cuanto nos rodea, puesto que es espacio y forma, queda bajo su jurisdicción.
Es imposible medir el espacio o comprender las formas derivadas de su estructura interna, sin un profundo conocimiento de sus principios elementales, de las estructuras ausentes en las que se basa.
La geometría es simbólica, una abstracción sígnica de la realidad percibida, una interpretación de los fenómenos más misteriosos y la única que posee el código formal preciso para desentrañar la inconmensurable obra del Creador.
Este análisis no puede ser expresado en su totalidad con palabras, con trazados o con voluntad de entendimiento. Es un análisis que exige mucha intuición y una predisposición positiva hacia una visión que se considera distinta a la habitual.

  • El espacio es geométrico

Para un ser unidimensional6, que vive feliz en su mundo bidimensional, una circunferencia es una línea que se desvanece por los extremos y que, al intentar, comprobar el final de ese extremo jamás lo encuentra porque estaría dándole vueltas al círculo eternamente, sin hallarlo. El círculo, en ese sentido, representaría para ese ser unidimensional la idea de infinito, inalcanzable.
Además, a ese mismo ser bidimensional le resultará físicamente imposible ver su centro por hallarse en su mismo plano de visión. Podría entender, después de comprobar su “redondez”, que la curva está formada por puntos que dependen de otro interior. Para un ser tridimensional, en cambio, ver el centro de esa circunferencia es algo normal, porque posee la dimensión que le permite elevarse del plano donde se encuentra dibujada y, desde arriba, mirar en dirección al plano del círculo y captar, con plenitud, la forma circular cuyos puntos dependen de su equidistancia al centro.
Si se le preguntara al ser bidimensional qué es lo ve cuando se le muestra un punto. Dirá que él sólo ve “un punto”, imposibilitado para sospechar otra forma. Sin embargo, ese punto mostrado, en realidad era una línea recta infinita aunque en una posición extrema, de canto, o perfil.
Del mismo modo, para nosotros, seres tridimensionales, también existe un espacio superior donde se puede ver todo aquello que permanece oculto a los seres del espacio tridimensional. Por ejemplo, el centro de una esfera. Ante una esfera el ser tridimensional se encontraría como el ser bidimensional, palpa su superficie e intuye su regularidad y su dependencia a un centro, pero literalmente “no lo ve”, impedido por la propia superficie. Para “verlo” tendría que cortar la esfera en dos y abrirla. Es decir, producirle “secciones planas máximas” que contengan al centro, para verlo. Es decir, transformando la esfera tridimensional en algo bidimensional (sus cortes planos), [ilustración 2]. Dicho de otro modo, para ver los objetos tridimensionales, los seres tridimensionales han de percibirlo como de dos dimensiones, mediante percepciones simples que lo reduzcan a una dimensión menor. En realidad, vemos el espacio tridimensional porque se “reconstruye” a partir de datos bidimensionales obtenidos mediante operaciones tan simples como proyectar y cortar.


Por eso, cuando se restituye el cuerpo tridimensional completo el centro aparece oculto a nuestra mirada tridimensional, aunque no para nuestra intuición que “ve” el sólido recompuesto. Si se desarrolla esta disciplina de la intuición se tendrá la capacidad, incluso, de moverlo, transformarlo, compararlo y, en definitiva, operar mentalmente con él.
Esto es lo que desarrollan los sistemas de representación espacial (diédrico, triédrico y perspectivas centrales) y que los alumnos estudian como “dibujo técnico”, ¡no hay nada tan burdo como llamar así a esta capacitación de lo espacial, reducida a una herramienta de usar y tirar, y no a una disciplina de desarrollo de la intuición, de ver en el espacio!…
Por eso, los que se acercan al estudio de las dimensiones ausentes, han considerado la existencia de un espacio donde las dimensiones sólo sean “una parte de un todo más complejo”, aunque más fácil de concebir. Es posible que lo que se interprete como dimensiones no sean más que manifestaciones fenomenológicas de ese todo. Que la singular manera de percibir del ser humano las interprete como dimensiones inexistentes.
Ahora bien, ¿cuál es ese todo continente de las ene dimensiones? ¿Dónde está; cómo se puede acceder a él…?

  • El tiempo geométrico incluido en el espacio

Parece una contradicción. La misma palabra “geometría” hace alusión a espacio y nada dice de tiempo. Los seres humanos damos categoría de tiempo al espacio que no comprendemos. Si somos capaces de imaginar que la línea es la consecuencia del “movimiento(7)” longitudinal de un punto; que la superficie lo es, a su vez, de una recta; y, finalmente, que el volumen, o sólido, es el movimiento de una superficie plana; llegaremos a la conclusión de que algo falla en el planteamiento porque bajo el disfraz del movimiento que añade infinitas posiciones al elemento, se oculta lo fundamental, la esencia del concepto espacial, independiente del tiempo, y viceversa.
Pero, ¿dónde se produce el movimiento puesto que, para que se desarrolle esa dimensión ausente en el elemento de partida, tendría que moverse en una dimensión que no contempla el espacio del propio elemento?
El movimiento de un punto, que es sólo posición, es inconcebible si no existe un espacio superior que permita su movimiento; si no es así, todos los espacios del mundo puntual quedarían limitados al mismo punto, sin más dimensiones que esa.
Ouspensky(8), a finales del siglo pasado, observó que cada espacio superior podía considerarse movimiento de otro inferior: «El espacio tetramensional sería la repetición infinita de nuestro espacio tridimensional, como la línea lo es de un punto». Propuso una nueva consideración, que coincidiría años después con las teorías relativistas de Einstein(9) y con las teorías de Hinton(10), muy posteriores. Puso el ejemplo de la rueda de bicicleta, compuesta por decenas de radios que mantienen el eje equidistante del aro. Cuando la rueda está quieta, estática, no gira, podemos atravesar los radios con un palo, aprovechando los intersticios dejados por dos radios contiguos. Pruébese a hacer lo mismo cuando la rueda gira. Resultará imposible porque los espacios huecos entre dos radios se ocupan por radios que se suceden a una velocidad diferente a la del palo que intenta entrar entre los mismos.
¿Qué sucedería si se intenta mover el palo a una velocidad tan grande que diera tiempo a aprovechar el espacio dejado por dos radios consecutivos? Que el palo, naturalmente, pasaría a través de ellos sin apenas rozarlo. Cámbiese el palo por un proyectil disparado por un arma de fuego. La bala atraviesa la rueda en movimiento sin dañarla, actuaría con la rueda como si estuviera quieta.
Algo parecido ocurre con la concepción del espacio. Todo está en movimiento: La Tierra se mueve alrededor de su eje; los planetas alrededor del sol; el sistema se desplaza hacia la constelación de Hércules… Los seres humanos no ocupamos jamas el mismo espacio físico aunque permanezcamos quietos. Vivimos en un continuo espacio-tiempo que concebimos en quietud, parado. Delimitamos pequeños espacios irreales desligados del macroespacio donde se haya sumergido. En ese contexto el punto es irreal, la línea, también, y el plano… Debe cambiarse el chip espacio-temporal y adoptar cuanto antes del todo cuántico en donde estamos inmersos.
En este sentido, la conclusión a la que llega Hinton es que,
“Si cada espacio superior puede ser considerado movimiento de otro inferior, no quiere esto decir que la dimensión que le falte al espacio inferior para transformarse en superior sea de naturaleza lineal, sino temporal, al ser el movimiento un fenómeno que se desarrolla en el tiempo.”
Añadiendo:
“Existen hipersólidos(11) en nuestro espacio que no son considerados como tales por no haber sido comprendidos en toda su extensión. Por ejemplo, el fenómeno del crecimiento, de la germinación de la semilla que se transforma en un árbol… Todos ellos pueden ser considerados hipersólidos.”
Y, de igual modo, cuando se contempla la figura de un cubo o hexaedro regular, cuya figura más representativa y vulgar es la del dado, se podrá imaginar que está formado por infinitos cuadrados dispuestos tan pegados entre sí que es imposible diferenciarlos. Cada uno de esos infinitos cuadrados sería una posición en el tiempo del cuadrado de partida, antes de moverse para transformarse en cubo. Si se dispone de la capacidad de imaginar cada una de las infinitas secuencias del movimiento del cuadrado se podrá detener en cualquier momento porque cada éste describe un momento tensional(12) del cuadrado de partida. La concepción del espacio superior que sugiere Ouspensky es fenomenológico y la geometría que lo explique debe ser de igual tipo.

El crecimiento es un desarrollo en el tiempo. Es espacio fenomenológico donde interviene el tiene y el aumento de tamaño. El crecimiento permite a la semilla hincharse y aumentar de tamaño, dejar de ser continuamente para trasformarse en instantes de presente que se funden en el tiempo. Este concepto de espacio como fenómeno del tiempo que se manifiesta en el crecimiento, llevaría a los geómetras egipcios a intentar encontrar ese límite en la monumentalidad de sus colosales pirámides. Lo que se levanta en pleno desierto no es la materialización de la soberbia de un faraón maniático de eternidad, sino el concepto mismo de ella. La Gran Pirámide es un trascender de la dimensión temporal mediante el tamaño, manejar una escala diferente e inconcebible para una percepción visual normal: La que se experimenta cuando se contempla desde el pie o penetra en aquella montaña de bloques descomunales. El espectador, asombrado, siente que entra en otra dimensión que lo supera.
En este sentido, es fácil imaginarse un espacio que es consecuencia del que entendemos como tridimensional; o, mucho más simple de entender, saber dónde se produce el “movimiento” de un sólido, y más concretamente, el movimiento mismo. Así, no es raro encontrar autores(13) que explican el espacio tridimensional como una de las muchas “secciones posibles” de un “hiperespacio”; en donde el sólido es una sección volumétrica o tridimensional de un hipersólido tetradimensional; como la superficie plana es la sección de un sólido; y, finalmente, la línea, sección de una superficie.
La mecánica del planteamiento es tan simple que todos podemos entenderlo: ¿Queremos explicar espacios con menos dimensiones?, quitamos alguna al nuestro; ¿queremos hallarle explicación a espacios con más…?, se la añadimos… Tanto si vamos añadiendo o quitando dimensiones, el hecho es que nunca abandonamos nuestro inexplicable espacio.
Y, se preguntará el escéptico: ¿Dónde está la cuarta dimensión?, ¿y la quinta, o la décima?… Si hemos ido añadiendo dimensiones a medida que nos fue haciendo falta para justificar nuestros planteamientos, el número de dimensiones no tendría fin; aunque sólo estemos capacitados para ver tres dimensiones espaciales más la temporal, de la que no estamos seguro de que sea una dimensión espacial…
La geometría de los fenómenos tensionales iría encaminada a desarrollar habilidades psíquicas, o, si me lo permiten, mágicas(14). Y ese será el objetivo de este libro, explicar una geometría de los fenómenos, comenzando por el plano Básico, en donde interviene el tiempo. El plano Básico es un cuadrado, que estudiaremos desde todos los puntos de vista posible, a fin de concretar todas sus propiedades.
Los físicos ya estaban acostumbrados a considerar al tiempo como la cuarta dimensión. La teoría de la relatividad revela que espacio y tiempo no son, en sí mismos, cualidades físicamente universales. Al contrario, necesitan unificarlos en una sola estructura tetradimensional, llamada espacio-tiempo. Kaluza fue más lejos y postuló que existe aún otra dimensión, una dimensión adicional del espacio; hay así cuatro dimensiones espaciales y cinco dimensiones en total:
“El campo gravitatorio de este universo pentadimensional se comporta exactamente como la gravedad normal más el campo electromagnético de Maxwell, al ser contemplado desde la restringida perspectiva de las cuatro dimensiones”.
Lo que decía Kaluza con su atrevida conjetura era que si ampliamos nuestra visión del Universo a cinco dimensiones, reduciríamos los campos de fuerza a sólo uno: la gravedad. Lo que llamamos electromagnetismo es tan sólo esta parte del campo gravitatorio que opera en la quinta dimensión, la nueva dimensión espacial que no se había reconocido; explicaría, de este modo, los fenómenos de la gravedad y el electromagnetismo con una misma teoría; además, ofrece formulaciones geométricas para los dos campos de fuerza. En su teoría, una onda electromagnética de radio, por ejemplo, no es más que una ondulación en la quinta dimensión, puesto que el movimiento característico de las partículas cargadas en los campos magnéticos y eléctricos explicarían estas cabriolas en esta quinta dimensión.
Para comprender un espacio de más dimensiones, de nada nos serviría emplear la perspectiva fisiológica de Borissavlievitch que deja al descubierto la deformación perceptiva de un objeto curvo; las consideraciones de Hinton o las conclusiones de Ouspensky(15), si el ser humano no tiene desarrollada la capacidad para verlas. Todo lo anterior quedaría como procedimientos capaces de reconstruir espacios aplicando tensiones a elementos estáticos inmersos en sistemas inestables, al igual que disponemos de procedimientos para reconstruir un poliedro a partir de su desarrollo plano(16), constituido por caras recortables.
En la versión moderna de la teoría de Kaluza-Klein(17) se postula un universo de once dimensiones18, todas las fuerzas de la naturaleza, no sólo la gravedad, son tratadas como manifestaciones de la estructura del espacio-tiempo. Lo que normalmente llamamos gravedad es una curvatura en las cuatro dimensiones del espacio-tiempo mientras que las otras fuerzas se reducen a curvaturas espaciales de más dimensiones. Si consideramos que las cuerdas elementales vibran en más dimensiones espaciales que las tres clásicas, tenemos la puerta abierta para aceptar que la gravedad se manifiesta a través de una dimensión no considerada hasta ahora. De este modo, y a esos niveles microscópicos, un átomo que se desplaza por una dimensión macro, manifiesta su movimiento lineal, como un vector, resultado de la composición de su movimiento a través de los ejes cartesianos X, Y, Z. Pero ese mismo átomo, como cualquier partícula, vibra durante el desplazamiento, ejecutando un movimiento extra, revelado por De Broglie, invadiendo los tres ejes espaciales, aunque su trayectoria sea lineal. Manifiesta sus dimensiones materiales de ancho, largo y alto; al mismo tiempo que se desplaza por un espacio contenedor de las mismas en cada punto de su recorrido. Este movimiento vibratorio ya establecería dimensiones espaciales asumibles y que estarían por encima de las generales aceptadas. Este movimiento vibratorio de las partículas no ocupan espacios misteriosos, son los mismos espacios ocupados por su átomo; por eso, se debe estimar que se hallan en su interior, en una acción denominada inferencia. Y, puesto que también se mueven en otras dos dimensiones dentro del átomo, realiza un total de tres movimientos en cada uno de los ejes X, Y, Z, por los que se mueve, mostrándonos un total de nueve dimensiones, que sumadas a la dimensión temporal, resultarían las diez dimensiones promulgadas por Kaluza-Klein como existentes.
Naturalmente, seis de ellas son tan diminutas que se consideran infranqueables. Sin embargo, algún día podrá salir una nueva teoría, que continuando la serie mentada, aduzca razones para atribuir otras dos extras para cada una de las nueve, obteniendo el resultado de veintisiete, más la temporal veintiocho.

Todas las fuerzas de la naturaleza no son más que geometría oculta en acción. Para acabar con esa idea de espacio multidimensional, solo mencionaré las conclusiones a las que llegó el matemático W. K. Clifford(19), en 1870:
«Que las pequeñas porciones de espacio son como colinas en una superficie que por lo general es plana… Que la propiedad de ser curvado o distorsionado se transmite constantemente de una porción del espacio a otra a la manera de una onda. Que esta variación de la curvatura del espacio es lo que ocurre realmente en ese fenómeno que llamamos movimiento de la materia. Que en el mundo físico no hay nada excepto esta variación.»

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(1) Cum templatio
(2) Casa es bait, letra que deriva de la letra beth hebrea
(3) El Templo de Dios se organiza tanto en el espacio como en el tiempo.
(4) Capacidad de espacialización es habilidad para ver espacio.
(5) La capacidad de espacialización es, para Graham, inteligencia espacial, o la capacidad de pensar en tres dimensiones, que incluye tanto la percepción de imágenes externas e internas, como recrearlas, transformarlas o modificarlas; así como, recorrer el espacio, o hacer que los objetos lo recorran, y producir o descodificar información gráfica. Extraído de GARDNER, H. 1995. Inteligencias Múltiples. Editorial Paidós. Barcelona.
(6) Que a pesar de vivir en un mundo de dos dimensiones él sólo es capaz de percibir una.
(7) En geometría el movimiento se considera una relación que une dos figuras congruentes: Traslación, giro, homología y homotecia.
(8) Para alcanzar siquiera un asomo de verdadera comprensión de nuestro mundo tendría que reconstruir completamente todas sus ideas, que revaluar todos sus valores, que revisar todos sus conceptos, que separar los conceptos unitarios y unir los que están divididos; y, lo que es más importante, tendrá que crear un numero infinito de otros nuevos P.D. Ouspensky “Tertium Organum”, pág. 63
(9) Durante toda su vida, Einstein soñó en construir una teoría en la cual todas las fuerzas de la naturaleza se fundieran en un solo esquema descriptivo basado en la geometría pura. De hecho, dedicó una gran parte de sus últimos años a la búsqueda de este esquema. Irónicamente, las mejores esperanzas que tenemos de realizar el sueño de Einstein surgen del trabajo de un oscuro físico polaco, Theodor Kaluza, que ya en 1921 sentó las bases para un nuevo y audaz enfoque de la unificación de la física. (“¿Vivimos en Once Dimensiones?”, por Paul Davies)
(10) Para explicar este hiperespacio empleó un cubo coloreado con 52 matices diferentes (como el juguete del cubo que sus caras se descomponen en 9 partes iguales y que pueden girar y descomponerse, inventado por el escultor y profesor de arquitectura húngaro Ernö Rubik en 1974). El hipercubo de Hinton se supone animado por un movimiento desconocido en ángulo recto respecto de todas las direcciones conocidas (las famosas direcciones “kata” -del griego “abajo”- y “ana” -del griego “arriba”- opuestas en la cuarta dimensión, equivalentes a derecha-izquierda, arriba-abajo, y adelante-atrás) y perpendiculares a las otras tres direcciones, que ya son perpendiculares entre sí. Este hipercubo recibió el nombre, inventado por él, de tessaracto o supercubo, o sucesión infinita de cubos que se desplazan en las direcciones kata-ana.
(11) Sólidos con más de tres dimensiones.
(12) La palabra tensional, referida a tensión, que empleamos proviene de tensor, una recta ponderada que posee situación, dirección y sentido; es decir, un concepto útil para designar una unidad de fuerza aplicada siguiendo una dirección determinada.
(13) Feinner lo concibe mediante analogías; Zönner empleando técnicas que rayan con el espiritismo y medionismo; N.A. Morosoff en fenómenos paranormales, o, finalmente, C. Flammarion, como explicación del movimiento expansivo, por el que los elementos desconocidos pueden manifestarse (refiriéndose a fuerzas imposibles de percibir físicamente)
(14) La magia es el conocimiento de hacer posible lo imposible a través de encantamientos. Si todo a nuestro alrededor depende de una deformación perceptiva, derivada de nuestra educación, ¿por qué no comenzar a aprender a educar nuestros sentidos para que lo perciban a través del prisma de la ilusión? Sólo entonces, será mágico y especial.
(15) Es interesante consultar, a este respecto, los libros siguientes: Bonola, “La Geometría no-euclidiana”; Hinton, C.H. “Una nueva era del pensamiento”, o “La Cuarta dimensión”; y Abbott, E.A. “Planilandia”. El mismo Ouspensky, en la pág. 417 de su obra citada, “Un nuevo modelo del Universo”, dice que la física, la química y la astronomía concebían el mundo en geometría euclidiana; alentándonos a hacerlo en una de tres dimensiones.
(16) Si no la reconstrucción del sólido como tal, sí, al menos, el espacio tridimensional que ocupan sus caras, consideradas como el límite entre el espacio tridimensional interior (invisible para nuestra percepción superficial, aunque no oculta a nuestra capacidad de inspección) y el espacio exterior que no es el poliedro.
(17) Con el descubrimiento de las fuerzas débil y fuerte en la década de los 30, la idea de unificar gravedad y electromagnetismo perdió mucho de su atractivo.
(18) ¿Dónde están las siete dimensiones espaciales que no vemos en nuestro espacio tridimensional? Kalusa dice que enrolladas” en círculos de modo que su tamaño sería ínfimo. Aunque los espacios de más dimensiones pueden comprimirse de muy distintas formas (como esfera, toro esférico-donut–, hiperboloide de Hinton, paraboloide de Lovachevsky, etc.), con siete dimensiones, el número de topologías posibles sería enorme. La que parece más simple es hacerlo como heptaesfera, que se diferenciaría de la esfera simple en la posibilidad de conformar simetrías: En la esfera simple las simetrías serían respecto del centro, en la heptaesfera, poseería sólidos, planos, líneas y centros de polisimetrías añadidas. De este modo, en un espacio heptaesférico un punto (del espacio bidimensional) tendría la forma de una diminuta “hiperesfera” de siete dimensiones.
(19) W.K. Clifford: “Sobre la teoría espacial de la materia”, conferencia pronunciada en la prestigiosa Sociedad Filosófica de Cambridge.

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Construcción de Cuadrados Mágicos

In Análisis de Cuadros,Análisis geométrico,Geometrías ocultas on 15 octubre, 2010 por alvarengomez

© Álvaro Rendón Gómez, octubre 2010
Para construir un Cuadrado mágico de orden par, se seguirán los tres pasos siguientes: Primero, se escriben los números del 1 al n², en este caso 52 = 25. El 1 en la casilla superior del rombo y y los demás siguiendo la línea oblicua, [1], comenzando por la línea oblicua de la derecha, de arriba abajo, hasta el número 25. Después, se trasladarán las tríadas de números ubicados en los vértices del rombo. Así, la tríada superior, formada por las cifras 1-6-2, se entremeten en el mismo orden en la tríada 18-14-19; la inferior, formada por las cifras 24-20-25, lo hará entre las cifras 7-8-12; la de la izquierda, formada por las cifras 21-1-22, lo hará entre las cifras 9-8-14; y, finalmente, la tríada de la derecha, formada por las cifras 5-4-10, lo hará entremetidas entre las cifras17-12-18, [2]. Sólo restará quitar los triángulos desplazados para concretar el Cuadrado mágico de orden 5 que se muestra en [3].

Derecha e izquierda son posiciones perfectamente claras pero relativas al punto de vista. Su posición cambia según la dirección en que orientemos el frente. En algunos sistemas , el más conocido el naval , existen unas posiciones derecha e izquierda absolutas tomando una referencia, en este caso el eje del barco y el frente en dirección proa. Así , si decimos estribor es la parte derecha del barco , sea cual sea nuestra posición. En arquitectura religiosa existe un sistema similar ; si nos situamos en la entrada mirando al altar , la derecha es el lado del la epístola y la izquierda el lado del evangelio, obteniendo estos nombres por la situación del oficiante en esos momentos de la misa

La estructura cuadrangular desde la más remota antigüedad ha simbolizado la transición entre el cielo y la tierra, el omphalos, o centro del mundo, su ombligo. Este sostén del mundo se refleja también en el entrecruzamiento de los arcos formeros que componen las bóvedas de los templos del XV y XVI, ilustración.
Estas bóvedas de crucería española pueden agruparse en dos bloques: Las de diseños geométricos rectilíneos y, las que presentan curvaturas en sus nervios secundarios (nervos combados).


Bóveda del Ábside del Evangelio, Catedral de Astorga, León. Para la localización de los terceletes se ha utilizado un enrejado de líneas.

En España, estos dos grandes grupos de bóvedas se vinculan a dos grandes escuelas de cantería: La toledana, ligado a las figuras de Juan Guas y Enrique Egas apegado a los diseños rectilíneos; y, la escuela burgalesa, más compleja y sofisticada, de Simón de Colonia, ilustración.
Bajo otro punto de vista queremos llamar la atención sobre el hecho de que los diseños de las bóvedas pueden igualmente agruparse en dos grupos: aquellas bóvedas de diseño centralizado alrededor de la clave central y aquellas en que la red de nervios secundarios enlaza unas bóvedas con otras creando una red que se extiende sobre todas ellas. Los diseños estrellados, las sterngevölbe alemanas, tuvieron un éxito enorme en España donde la presencia siempre poderosa de los arcos perpiaños divide con toda nitidez la longitud de las naves en tramos bien definidos, en cada uno de ellos se aloja un poderoso dibujo en estrella. Por el contrario, los diseños en red, las netzguewölbe tan frecuentes en Centroeuropa, tuvieron escasa relevancia en nuestro país. La excepción a esta regla es, quizá, Juan de Álava que desarrolló notables ejemplos de abovedamientos en que el los nervios combados van enlazando un tramo con otro constituyendo asombrosas y sofisticadísimas redes.


Bóveda sobre la nave central. Catedral de Salamanca. Para la localización de los terceletes se ha utilizado un enrejado de líneas.

Tras estas consideraciones de carácter general podemos concluir que las bóvedas españolas determinan sus diseños a partir de una serie de reglas compositivas que podemos agrupar de la siguiente manera.
• El tercelete sobre la bisectriz:
Es el recurso más utilizado. Se trata de situar el tercelete en la bisectriz del ángulo que se crea entre el ojivo y el arco formero o perpiaño. Para situar esta bisectriz se solía usar una curiosa construcción geométrica: se circunscribe una circunferencia alrededor de la planta de la bóveda, se prolongan los ejes de simetría y allá donde estos ejes cortan la circunferencia, se traza una recta que una este punto con el vértice de la bóveda; ésta recta coincide con la bisectriz y su traza determina la posición del tercelete y su clave. Esta forma de colocar el tercelete aparece tanto en bóvedas de planta cuadrada como en las de planta rectangular, [ilustración 102].
• La retícula: De origen probablemente germánico, aparece con frecuencia en las bóvedas de aquel país como base que permite ordenar los complejos diseños de las bóvedas en red. En  nuestro país aparece también como elemento regulador de las bóvedas polares y en aquellas de planta rectangular donde, muy frecuentemente, parece abandonarse la idea de colocar los terceletes en las bisectrices. Su uso permite fragmentar ordenadamente el plano de la bóveda y determinar puntos estratégicos donde situar las claves. Las tramas pueden ser cuadradas o rectangulares siendo las más frecuentes: 4 x 4, 6 x 4, 8 x 4, 8 x 8 ó, también, 7 x 5 y 7 x 7, aunque se dan también otras combinaciones más complejas en las que se juega con medios valores   En ocasiones las dos reglas de diseño anteriormente expuestas pueden aparecer sobre la misma bóveda.

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